\(\int (a+b x)^n (c+d x^2)^2 \, dx\) [357]

Optimal result

Integrand size = 17, antiderivative size = 140 \[ \int (a+b x)^n \left (c+d x^2\right )^2 \, dx=\frac {\left (b^2 c+a^2 d\right )^2 (a+b x)^{1+n}}{b^5 (1+n)}-\frac {4 a d \left (b^2 c+a^2 d\right ) (a+b x)^{2+n}}{b^5 (2+n)}+\frac {2 d \left (b^2 c+3 a^2 d\right ) (a+b x)^{3+n}}{b^5 (3+n)}-\frac {4 a d^2 (a+b x)^{4+n}}{b^5 (4+n)}+\frac {d^2 (a+b x)^{5+n}}{b^5 (5+n)} \]

[Out]

(a^2*d+b^2*c)^2*(b*x+a)^(1+n)/b^5/(1+n)-4*a*d*(a^2*d+b^2*c)*(b*x+a)^(2+n)/b^5/(2+n)+2*d*(3*a^2*d+b^2*c)*(b*x+a
)^(3+n)/b^5/(3+n)-4*a*d^2*(b*x+a)^(4+n)/b^5/(4+n)+d^2*(b*x+a)^(5+n)/b^5/(5+n)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.05 (sec) , antiderivative size = 140, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 2, number of rules used = 1, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.059, Rules used = {711} \[ \int (a+b x)^n \left (c+d x^2\right )^2 \, dx=\frac {\left (a^2 d+b^2 c\right )^2 (a+b x)^{n+1}}{b^5 (n+1)}-\frac {4 a d \left (a^2 d+b^2 c\right ) (a+b x)^{n+2}}{b^5 (n+2)}+\frac {2 d \left (3 a^2 d+b^2 c\right ) (a+b x)^{n+3}}{b^5 (n+3)}-\frac {4 a d^2 (a+b x)^{n+4}}{b^5 (n+4)}+\frac {d^2 (a+b x)^{n+5}}{b^5 (n+5)} \]

[In]

Int[(a + b*x)^n*(c + d*x^2)^2,x]

[Out]

((b^2*c + a^2*d)^2*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n)) - (4*a*d*(b^2*c + a^2*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(2 + n))
+ (2*d*(b^2*c + 3*a^2*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(3 + n)) - (4*a*d^2*(a + b*x)^(4 + n))/(b^5*(4 + n)) + (d^2*(
a + b*x)^(5 + n))/(b^5*(5 + n))

Rule 711

Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*(a + c*
x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, m}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[p, 0]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \int \left (\frac {\left (b^2 c+a^2 d\right )^2 (a+b x)^n}{b^4}-\frac {4 a d \left (b^2 c+a^2 d\right ) (a+b x)^{1+n}}{b^4}+\frac {2 d \left (b^2 c+3 a^2 d\right ) (a+b x)^{2+n}}{b^4}-\frac {4 a d^2 (a+b x)^{3+n}}{b^4}+\frac {d^2 (a+b x)^{4+n}}{b^4}\right ) \, dx \\ & = \frac {\left (b^2 c+a^2 d\right )^2 (a+b x)^{1+n}}{b^5 (1+n)}-\frac {4 a d \left (b^2 c+a^2 d\right ) (a+b x)^{2+n}}{b^5 (2+n)}+\frac {2 d \left (b^2 c+3 a^2 d\right ) (a+b x)^{3+n}}{b^5 (3+n)}-\frac {4 a d^2 (a+b x)^{4+n}}{b^5 (4+n)}+\frac {d^2 (a+b x)^{5+n}}{b^5 (5+n)} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 0.16 (sec) , antiderivative size = 160, normalized size of antiderivative = 1.14 \[ \int (a+b x)^n \left (c+d x^2\right )^2 \, dx=\frac {(a+b x)^{1+n} \left (\left (c+d x^2\right )^2+\frac {4 \left (b^2 c+a^2 d\right ) \left (2 a^2 d-2 a b d (1+n) x+b^2 (2+n) \left (c (3+n)+d (1+n) x^2\right )\right )}{b^4 (1+n) (2+n) (3+n)}-\frac {4 a d (a+b x) \left (2 a^2 d-2 a b d (2+n) x+b^2 (3+n) \left (c (4+n)+d (2+n) x^2\right )\right )}{b^4 (2+n) (3+n) (4+n)}\right )}{b (5+n)} \]

[In]

Integrate[(a + b*x)^n*(c + d*x^2)^2,x]

[Out]

((a + b*x)^(1 + n)*((c + d*x^2)^2 + (4*(b^2*c + a^2*d)*(2*a^2*d - 2*a*b*d*(1 + n)*x + b^2*(2 + n)*(c*(3 + n) +
d*(1 + n)*x^2)))/(b^4*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)) - (4*a*d*(a + b*x)*(2*a^2*d - 2*a*b*d*(2 + n)*x + b^2*(3 + n)*
(c*(4 + n) + d*(2 + n)*x^2)))/(b^4*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n))))/(b*(5 + n))

Maple [B] (verified)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. \(419\) vs. \(2(140)=280\).

Time = 0.42 (sec) , antiderivative size = 420, normalized size of antiderivative = 3.00

method	result	size
gosper	\(\frac {\left (b x +a \right )^{1+n} \left (b^{4} d^{2} n^{4} x^{4}+10 b^{4} d^{2} n^{3} x^{4}-4 a \,b^{3} d^{2} n^{3} x^{3}+2 b^{4} c d \,n^{4} x^{2}+35 b^{4} d^{2} n^{2} x^{4}-24 a \,b^{3} d^{2} n^{2} x^{3}+24 b^{4} c d \,n^{3} x^{2}+50 b^{4} d^{2} n \,x^{4}+12 a^{2} b^{2} d^{2} n^{2} x^{2}-4 a \,b^{3} c d \,n^{3} x -44 a \,b^{3} d^{2} n \,x^{3}+b^{4} c^{2} n^{4}+98 b^{4} c d \,n^{2} x^{2}+24 x^{4} b^{4} d^{2}+36 a^{2} b^{2} d^{2} n \,x^{2}-40 a \,b^{3} c d \,n^{2} x -24 a \,b^{3} d^{2} x^{3}+14 b^{4} c^{2} n^{3}+156 b^{4} c d n \,x^{2}-24 a^{3} b \,d^{2} n x +4 a^{2} b^{2} c d \,n^{2}+24 x^{2} b^{2} d^{2} a^{2}-116 a \,b^{3} c d n x +71 b^{4} c^{2} n^{2}+80 b^{4} c d \,x^{2}-24 b \,d^{2} a^{3} x +36 a^{2} b^{2} c d n -80 a \,b^{3} c d x +154 b^{4} c^{2} n +24 d^{2} a^{4}+80 a^{2} b^{2} c d +120 b^{4} c^{2}\right )}{b^{5} \left (n^{5}+15 n^{4}+85 n^{3}+225 n^{2}+274 n +120\right )}\)	\(420\)
norman	\(\frac {d^{2} x^{5} {\mathrm e}^{n \ln \left (b x +a \right )}}{5+n}+\frac {a \left (b^{4} c^{2} n^{4}+14 b^{4} c^{2} n^{3}+4 a^{2} b^{2} c d \,n^{2}+71 b^{4} c^{2} n^{2}+36 a^{2} b^{2} c d n +154 b^{4} c^{2} n +24 d^{2} a^{4}+80 a^{2} b^{2} c d +120 b^{4} c^{2}\right ) {\mathrm e}^{n \ln \left (b x +a \right )}}{b^{5} \left (n^{5}+15 n^{4}+85 n^{3}+225 n^{2}+274 n +120\right )}+\frac {a \,d^{2} n \,x^{4} {\mathrm e}^{n \ln \left (b x +a \right )}}{b \left (n^{2}+9 n +20\right )}-\frac {\left (-b^{4} c^{2} n^{4}+4 a^{2} b^{2} c d \,n^{3}-14 b^{4} c^{2} n^{3}+36 a^{2} b^{2} c d \,n^{2}-71 b^{4} c^{2} n^{2}+24 a^{4} d^{2} n +80 a^{2} b^{2} c d n -154 b^{4} c^{2} n -120 b^{4} c^{2}\right ) x \,{\mathrm e}^{n \ln \left (b x +a \right )}}{b^{4} \left (n^{5}+15 n^{4}+85 n^{3}+225 n^{2}+274 n +120\right )}-\frac {2 \left (-b^{2} c \,n^{2}+2 a^{2} d n -9 b^{2} c n -20 b^{2} c \right ) d \,x^{3} {\mathrm e}^{n \ln \left (b x +a \right )}}{b^{2} \left (n^{3}+12 n^{2}+47 n +60\right )}+\frac {2 \left (b^{2} c \,n^{2}+9 b^{2} c n +6 a^{2} d +20 b^{2} c \right ) d a n \,x^{2} {\mathrm e}^{n \ln \left (b x +a \right )}}{b^{3} \left (n^{4}+14 n^{3}+71 n^{2}+154 n +120\right )}\)	\(453\)
risch	\(\frac {\left (b^{5} d^{2} n^{4} x^{5}+a \,b^{4} d^{2} n^{4} x^{4}+10 b^{5} d^{2} n^{3} x^{5}+6 a \,b^{4} d^{2} n^{3} x^{4}+2 b^{5} c d \,n^{4} x^{3}+35 b^{5} d^{2} n^{2} x^{5}-4 a^{2} b^{3} d^{2} n^{3} x^{3}+2 a \,b^{4} c d \,n^{4} x^{2}+11 a \,b^{4} d^{2} n^{2} x^{4}+24 b^{5} c d \,n^{3} x^{3}+50 b^{5} d^{2} n \,x^{5}-12 a^{2} b^{3} d^{2} n^{2} x^{3}+20 a \,b^{4} c d \,n^{3} x^{2}+6 a \,b^{4} d^{2} n \,x^{4}+b^{5} c^{2} n^{4} x +98 b^{5} c d \,n^{2} x^{3}+24 d^{2} x^{5} b^{5}+12 a^{3} b^{2} d^{2} n^{2} x^{2}-4 a^{2} b^{3} c d \,n^{3} x -8 a^{2} b^{3} d^{2} n \,x^{3}+a \,b^{4} c^{2} n^{4}+58 a \,b^{4} c d \,n^{2} x^{2}+14 b^{5} c^{2} n^{3} x +156 b^{5} c d n \,x^{3}+12 a^{3} b^{2} d^{2} n \,x^{2}-36 a^{2} b^{3} c d \,n^{2} x +14 a \,b^{4} c^{2} n^{3}+40 a \,b^{4} c d n \,x^{2}+71 b^{5} c^{2} n^{2} x +80 b^{5} c d \,x^{3}-24 a^{4} b \,d^{2} n x +4 a^{3} b^{2} c d \,n^{2}-80 a^{2} b^{3} c d n x +71 a \,b^{4} c^{2} n^{2}+154 b^{5} c^{2} n x +36 a^{3} b^{2} c d n +154 a \,b^{4} c^{2} n +120 b^{5} c^{2} x +24 d^{2} a^{5}+80 a^{3} b^{2} c d +120 a \,b^{4} c^{2}\right ) \left (b x +a \right )^{n}}{\left (4+n \right ) \left (5+n \right ) \left (3+n \right ) \left (2+n \right ) \left (1+n \right ) b^{5}}\)	\(555\)
parallelrisch	\(\frac {-36 x \left (b x +a \right )^{n} a^{3} b^{3} c d \,n^{2}-80 x \left (b x +a \right )^{n} a^{3} b^{3} c d n -24 x \left (b x +a \right )^{n} a^{5} b \,d^{2} n +154 x \left (b x +a \right )^{n} a \,b^{5} c^{2} n +4 \left (b x +a \right )^{n} a^{4} b^{2} c d \,n^{2}+36 \left (b x +a \right )^{n} a^{4} b^{2} c d n +12 x^{2} \left (b x +a \right )^{n} a^{4} b^{2} d^{2} n +71 x \left (b x +a \right )^{n} a \,b^{5} c^{2} n^{2}-8 x^{3} \left (b x +a \right )^{n} a^{3} b^{3} d^{2} n +12 x^{2} \left (b x +a \right )^{n} a^{4} b^{2} d^{2} n^{2}+14 x \left (b x +a \right )^{n} a \,b^{5} c^{2} n^{3}+x^{5} \left (b x +a \right )^{n} a \,b^{5} d^{2} n^{4}+10 x^{5} \left (b x +a \right )^{n} a \,b^{5} d^{2} n^{3}+x^{4} \left (b x +a \right )^{n} a^{2} b^{4} d^{2} n^{4}+35 x^{5} \left (b x +a \right )^{n} a \,b^{5} d^{2} n^{2}+6 x^{4} \left (b x +a \right )^{n} a^{2} b^{4} d^{2} n^{3}+50 x^{5} \left (b x +a \right )^{n} a \,b^{5} d^{2} n +11 x^{4} \left (b x +a \right )^{n} a^{2} b^{4} d^{2} n^{2}-4 x^{3} \left (b x +a \right )^{n} a^{3} b^{3} d^{2} n^{3}+6 x^{4} \left (b x +a \right )^{n} a^{2} b^{4} d^{2} n -12 x^{3} \left (b x +a \right )^{n} a^{3} b^{3} d^{2} n^{2}+x \left (b x +a \right )^{n} a \,b^{5} c^{2} n^{4}+120 \left (b x +a \right )^{n} a^{2} b^{4} c^{2}+80 x^{3} \left (b x +a \right )^{n} a \,b^{5} c d +2 x^{3} \left (b x +a \right )^{n} a \,b^{5} c d \,n^{4}+24 x^{3} \left (b x +a \right )^{n} a \,b^{5} c d \,n^{3}+2 x^{2} \left (b x +a \right )^{n} a^{2} b^{4} c d \,n^{4}+98 x^{3} \left (b x +a \right )^{n} a \,b^{5} c d \,n^{2}+20 x^{2} \left (b x +a \right )^{n} a^{2} b^{4} c d \,n^{3}+156 x^{3} \left (b x +a \right )^{n} a \,b^{5} c d n +58 x^{2} \left (b x +a \right )^{n} a^{2} b^{4} c d \,n^{2}-4 x \left (b x +a \right )^{n} a^{3} b^{3} c d \,n^{3}+40 x^{2} \left (b x +a \right )^{n} a^{2} b^{4} c d n +\left (b x +a \right )^{n} a^{2} b^{4} c^{2} n^{4}+14 \left (b x +a \right )^{n} a^{2} b^{4} c^{2} n^{3}+71 \left (b x +a \right )^{n} a^{2} b^{4} c^{2} n^{2}+154 \left (b x +a \right )^{n} a^{2} b^{4} c^{2} n +80 \left (b x +a \right )^{n} a^{4} b^{2} c d +24 x^{5} \left (b x +a \right )^{n} a \,b^{5} d^{2}+120 x \left (b x +a \right )^{n} a \,b^{5} c^{2}+24 \left (b x +a \right )^{n} a^{6} d^{2}}{\left (5+n \right ) \left (n^{2}+7 n +12\right ) \left (2+n \right ) \left (1+n \right ) b^{5} a}\)	\(879\)

[In]

int((b*x+a)^n*(d*x^2+c)^2,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/b^5*(b*x+a)^(1+n)/(n^5+15*n^4+85*n^3+225*n^2+274*n+120)*(b^4*d^2*n^4*x^4+10*b^4*d^2*n^3*x^4-4*a*b^3*d^2*n^3*
x^3+2*b^4*c*d*n^4*x^2+35*b^4*d^2*n^2*x^4-24*a*b^3*d^2*n^2*x^3+24*b^4*c*d*n^3*x^2+50*b^4*d^2*n*x^4+12*a^2*b^2*d
^2*n^2*x^2-4*a*b^3*c*d*n^3*x-44*a*b^3*d^2*n*x^3+b^4*c^2*n^4+98*b^4*c*d*n^2*x^2+24*b^4*d^2*x^4+36*a^2*b^2*d^2*n
*x^2-40*a*b^3*c*d*n^2*x-24*a*b^3*d^2*x^3+14*b^4*c^2*n^3+156*b^4*c*d*n*x^2-24*a^3*b*d^2*n*x+4*a^2*b^2*c*d*n^2+2
4*a^2*b^2*d^2*x^2-116*a*b^3*c*d*n*x+71*b^4*c^2*n^2+80*b^4*c*d*x^2-24*a^3*b*d^2*x+36*a^2*b^2*c*d*n-80*a*b^3*c*d
*x+154*b^4*c^2*n+24*a^4*d^2+80*a^2*b^2*c*d+120*b^4*c^2)

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 519 vs. \(2 (140) = 280\).

Time = 0.31 (sec) , antiderivative size = 519, normalized size of antiderivative = 3.71 \[ \int (a+b x)^n \left (c+d x^2\right )^2 \, dx=\frac {{\left (a b^{4} c^{2} n^{4} + 14 \, a b^{4} c^{2} n^{3} + 120 \, a b^{4} c^{2} + 80 \, a^{3} b^{2} c d + 24 \, a^{5} d^{2} + {\left (b^{5} d^{2} n^{4} + 10 \, b^{5} d^{2} n^{3} + 35 \, b^{5} d^{2} n^{2} + 50 \, b^{5} d^{2} n + 24 \, b^{5} d^{2}\right )} x^{5} + {\left (a b^{4} d^{2} n^{4} + 6 \, a b^{4} d^{2} n^{3} + 11 \, a b^{4} d^{2} n^{2} + 6 \, a b^{4} d^{2} n\right )} x^{4} + 2 \, {\left (b^{5} c d n^{4} + 40 \, b^{5} c d + 2 \, {\left (6 \, b^{5} c d - a^{2} b^{3} d^{2}\right )} n^{3} + {\left (49 \, b^{5} c d - 6 \, a^{2} b^{3} d^{2}\right )} n^{2} + 2 \, {\left (39 \, b^{5} c d - 2 \, a^{2} b^{3} d^{2}\right )} n\right )} x^{3} + {\left (71 \, a b^{4} c^{2} + 4 \, a^{3} b^{2} c d\right )} n^{2} + 2 \, {\left (a b^{4} c d n^{4} + 10 \, a b^{4} c d n^{3} + {\left (29 \, a b^{4} c d + 6 \, a^{3} b^{2} d^{2}\right )} n^{2} + 2 \, {\left (10 \, a b^{4} c d + 3 \, a^{3} b^{2} d^{2}\right )} n\right )} x^{2} + 2 \, {\left (77 \, a b^{4} c^{2} + 18 \, a^{3} b^{2} c d\right )} n + {\left (b^{5} c^{2} n^{4} + 120 \, b^{5} c^{2} + 2 \, {\left (7 \, b^{5} c^{2} - 2 \, a^{2} b^{3} c d\right )} n^{3} + {\left (71 \, b^{5} c^{2} - 36 \, a^{2} b^{3} c d\right )} n^{2} + 2 \, {\left (77 \, b^{5} c^{2} - 40 \, a^{2} b^{3} c d - 12 \, a^{4} b d^{2}\right )} n\right )} x\right )} {\left (b x + a\right )}^{n}}{b^{5} n^{5} + 15 \, b^{5} n^{4} + 85 \, b^{5} n^{3} + 225 \, b^{5} n^{2} + 274 \, b^{5} n + 120 \, b^{5}} \]

[In]

integrate((b*x+a)^n*(d*x^2+c)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

(a*b^4*c^2*n^4 + 14*a*b^4*c^2*n^3 + 120*a*b^4*c^2 + 80*a^3*b^2*c*d + 24*a^5*d^2 + (b^5*d^2*n^4 + 10*b^5*d^2*n^
3 + 35*b^5*d^2*n^2 + 50*b^5*d^2*n + 24*b^5*d^2)*x^5 + (a*b^4*d^2*n^4 + 6*a*b^4*d^2*n^3 + 11*a*b^4*d^2*n^2 + 6*
a*b^4*d^2*n)*x^4 + 2*(b^5*c*d*n^4 + 40*b^5*c*d + 2*(6*b^5*c*d - a^2*b^3*d^2)*n^3 + (49*b^5*c*d - 6*a^2*b^3*d^2
)*n^2 + 2*(39*b^5*c*d - 2*a^2*b^3*d^2)*n)*x^3 + (71*a*b^4*c^2 + 4*a^3*b^2*c*d)*n^2 + 2*(a*b^4*c*d*n^4 + 10*a*b
^4*c*d*n^3 + (29*a*b^4*c*d + 6*a^3*b^2*d^2)*n^2 + 2*(10*a*b^4*c*d + 3*a^3*b^2*d^2)*n)*x^2 + 2*(77*a*b^4*c^2 +
18*a^3*b^2*c*d)*n + (b^5*c^2*n^4 + 120*b^5*c^2 + 2*(7*b^5*c^2 - 2*a^2*b^3*c*d)*n^3 + (71*b^5*c^2 - 36*a^2*b^3*
c*d)*n^2 + 2*(77*b^5*c^2 - 40*a^2*b^3*c*d - 12*a^4*b*d^2)*n)*x)*(b*x + a)^n/(b^5*n^5 + 15*b^5*n^4 + 85*b^5*n^3
+ 225*b^5*n^2 + 274*b^5*n + 120*b^5)

Sympy [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 5097 vs. \(2 (128) = 256\).

Time = 1.44 (sec) , antiderivative size = 5097, normalized size of antiderivative = 36.41 \[ \int (a+b x)^n \left (c+d x^2\right )^2 \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((b*x+a)**n*(d*x**2+c)**2,x)

[Out]

Piecewise((a**n*(c**2*x + 2*c*d*x**3/3 + d**2*x**5/5), Eq(b, 0)), (12*a**4*d**2*log(a/b + x)/(12*a**4*b**5 + 4
8*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 25*a**4*d**2/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6
*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 48*a**3*b*d**2*x*log(a/b + x)/(12*a**4*b**5 + 48*a**
3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 88*a**3*b*d**2*x/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*
x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) - 2*a**2*b**2*c*d/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a
**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 72*a**2*b**2*d**2*x**2*log(a/b + x)/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b
**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 108*a**2*b**2*d**2*x**2/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b
**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) - 8*a*b**3*c*d*x/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 7
2*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 48*a*b**3*d**2*x**3*log(a/b + x)/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b
**6*x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 48*a*b**3*d**2*x**3/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*
x + 72*a**2*b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) - 3*b**4*c**2/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*
b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) - 12*b**4*c*d*x**2/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*b**7*x*
*2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4) + 12*b**4*d**2*x**4*log(a/b + x)/(12*a**4*b**5 + 48*a**3*b**6*x + 72*a**2*
b**7*x**2 + 48*a*b**8*x**3 + 12*b**9*x**4), Eq(n, -5)), (-12*a**4*d**2*log(a/b + x)/(3*a**3*b**5 + 9*a**2*b**6
*x + 9*a*b**7*x**2 + 3*b**8*x**3) - 22*a**4*d**2/(3*a**3*b**5 + 9*a**2*b**6*x + 9*a*b**7*x**2 + 3*b**8*x**3) -
36*a**3*b*d**2*x*log(a/b + x)/(3*a**3*b**5 + 9*a**2*b**6*x + 9*a*b**7*x**2 + 3*b**8*x**3) - 54*a**3*b*d**2*x/
(3*a**3*b**5 + 9*a**2*b**6*x + 9*a*b**7*x**2 + 3*b**8*x**3) - 2*a**2*b**2*c*d/(3*a**3*b**5 + 9*a**2*b**6*x + 9
*a*b**7*x**2 + 3*b**8*x**3) - 36*a**2*b**2*d**2*x**2*log(a/b + x)/(3*a**3*b**5 + 9*a**2*b**6*x + 9*a*b**7*x**2
+ 3*b**8*x**3) - 36*a**2*b**2*d**2*x**2/(3*a**3*b**5 + 9*a**2*b**6*x + 9*a*b**7*x**2 + 3*b**8*x**3) - 6*a*b**
3*c*d*x/(3*a**3*b**5 + 9*a**2*b**6*x + 9*a*b**7*x**2 + 3*b**8*x**3) - 12*a*b**3*d**2*x**3*log(a/b + x)/(3*a**3
*b**5 + 9*a**2*b**6*x + 9*a*b**7*x**2 + 3*b**8*x**3) - b**4*c**2/(3*a**3*b**5 + 9*a**2*b**6*x + 9*a*b**7*x**2
+ 3*b**8*x**3) - 6*b**4*c*d*x**2/(3*a**3*b**5 + 9*a**2*b**6*x + 9*a*b**7*x**2 + 3*b**8*x**3) + 3*b**4*d**2*x**
4/(3*a**3*b**5 + 9*a**2*b**6*x + 9*a*b**7*x**2 + 3*b**8*x**3), Eq(n, -4)), (12*a**4*d**2*log(a/b + x)/(2*a**2*
b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 18*a**4*d**2/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 24*a**3*b*d**2*x*lo
g(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 24*a**3*b*d**2*x/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2
) + 4*a**2*b**2*c*d*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 6*a**2*b**2*c*d/(2*a**2*b**5 + 4*a
*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 12*a**2*b**2*d**2*x**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 8*a*b*
*3*c*d*x*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 8*a*b**3*c*d*x/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*
b**7*x**2) - 4*a*b**3*d**2*x**3/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - b**4*c**2/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x
+ 2*b**7*x**2) + 4*b**4*c*d*x**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + b**4*d**2*x**4/(2*a*
*2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2), Eq(n, -3)), (-12*a**4*d**2*log(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 12*a**4*d
**2/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 12*a**3*b*d**2*x*log(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 12*a**2*b**2*c*d*log(a/b + x
)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 12*a**2*b**2*c*d/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + 6*a**2*b**2*d**2*x**2/(3*a*b**5 + 3*b**6*x)
- 12*a*b**3*c*d*x*log(a/b + x)/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 2*a*b**3*d**2*x**3/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) - 3*b**4*c**2
/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + 6*b**4*c*d*x**2/(3*a*b**5 + 3*b**6*x) + b**4*d**2*x**4/(3*a*b**5 + 3*b**6*x), Eq(n, -
2)), (a**4*d**2*log(a/b + x)/b**5 - a**3*d**2*x/b**4 + 2*a**2*c*d*log(a/b + x)/b**3 + a**2*d**2*x**2/(2*b**3)
- 2*a*c*d*x/b**2 - a*d**2*x**3/(3*b**2) + c**2*log(a/b + x)/b + c*d*x**2/b + d**2*x**4/(4*b), Eq(n, -1)), (24*
a**5*d**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 24*
a**4*b*d**2*n*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5)
+ 4*a**3*b**2*c*d*n**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 1
20*b**5) + 36*a**3*b**2*c*d*n*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5
*n + 120*b**5) + 80*a**3*b**2*c*d*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*
b**5*n + 120*b**5) + 12*a**3*b**2*d**2*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b
**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 12*a**3*b**2*d**2*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*
n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 4*a**2*b**3*c*d*n**3*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4
+ 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 36*a**2*b**3*c*d*n**2*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15
*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 80*a**2*b**3*c*d*n*x*(a + b*x)**n/(b**5*n
**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 4*a**2*b**3*d**2*n**3*x**3*(a + b
*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 12*a**2*b**3*d**2*n
**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 8*a*
*2*b**3*d**2*n*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b
**5) + a*b**4*c**2*n**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 1
20*b**5) + 14*a*b**4*c**2*n**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**
5*n + 120*b**5) + 71*a*b**4*c**2*n**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 +
274*b**5*n + 120*b**5) + 154*a*b**4*c**2*n*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n*
*2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 120*a*b**4*c**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5
*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 2*a*b**4*c*d*n**4*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3
+ 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 20*a*b**4*c*d*n**3*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85
*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 58*a*b**4*c*d*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**
5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 40*a*b**4*c*d*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5
+ 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + a*b**4*d**2*n**4*x**4*(a + b*x)**n/(b
**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 6*a*b**4*d**2*n**3*x**4*(a +
b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 11*a*b**4*d**2*n*
*2*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 6*a*b
**4*d**2*n*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5)
+ b**5*c**2*n**4*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b
**5) + 14*b**5*c**2*n**3*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n
+ 120*b**5) + 71*b**5*c**2*n**2*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*
b**5*n + 120*b**5) + 154*b**5*c**2*n*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 +
274*b**5*n + 120*b**5) + 120*b**5*c**2*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**
2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 2*b**5*c*d*n**4*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*
b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 24*b**5*c*d*n**3*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n*
*3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 98*b**5*c*d*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 8
5*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 156*b**5*c*d*n*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n
**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 80*b**5*c*d*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b*
*5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + b**5*d**2*n**4*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5
+ 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 10*b**5*d**2*n**3*x**5*(a + b*x)**n/(
b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 35*b**5*d**2*n**2*x**5*(a +
b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 50*b**5*d**2*n*x*
*5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 24*b**5*d*
*2*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5), True))

Maxima [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.19 (sec) , antiderivative size = 235, normalized size of antiderivative = 1.68 \[ \int (a+b x)^n \left (c+d x^2\right )^2 \, dx=\frac {{\left (b x + a\right )}^{n + 1} c^{2}}{b {\left (n + 1\right )}} + \frac {2 \, {\left ({\left (n^{2} + 3 \, n + 2\right )} b^{3} x^{3} + {\left (n^{2} + n\right )} a b^{2} x^{2} - 2 \, a^{2} b n x + 2 \, a^{3}\right )} {\left (b x + a\right )}^{n} c d}{{\left (n^{3} + 6 \, n^{2} + 11 \, n + 6\right )} b^{3}} + \frac {{\left ({\left (n^{4} + 10 \, n^{3} + 35 \, n^{2} + 50 \, n + 24\right )} b^{5} x^{5} + {\left (n^{4} + 6 \, n^{3} + 11 \, n^{2} + 6 \, n\right )} a b^{4} x^{4} - 4 \, {\left (n^{3} + 3 \, n^{2} + 2 \, n\right )} a^{2} b^{3} x^{3} + 12 \, {\left (n^{2} + n\right )} a^{3} b^{2} x^{2} - 24 \, a^{4} b n x + 24 \, a^{5}\right )} {\left (b x + a\right )}^{n} d^{2}}{{\left (n^{5} + 15 \, n^{4} + 85 \, n^{3} + 225 \, n^{2} + 274 \, n + 120\right )} b^{5}} \]

[In]

integrate((b*x+a)^n*(d*x^2+c)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

(b*x + a)^(n + 1)*c^2/(b*(n + 1)) + 2*((n^2 + 3*n + 2)*b^3*x^3 + (n^2 + n)*a*b^2*x^2 - 2*a^2*b*n*x + 2*a^3)*(b
*x + a)^n*c*d/((n^3 + 6*n^2 + 11*n + 6)*b^3) + ((n^4 + 10*n^3 + 35*n^2 + 50*n + 24)*b^5*x^5 + (n^4 + 6*n^3 + 1
1*n^2 + 6*n)*a*b^4*x^4 - 4*(n^3 + 3*n^2 + 2*n)*a^2*b^3*x^3 + 12*(n^2 + n)*a^3*b^2*x^2 - 24*a^4*b*n*x + 24*a^5)
*(b*x + a)^n*d^2/((n^5 + 15*n^4 + 85*n^3 + 225*n^2 + 274*n + 120)*b^5)

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 851 vs. \(2 (140) = 280\).

Time = 0.28 (sec) , antiderivative size = 851, normalized size of antiderivative = 6.08 \[ \int (a+b x)^n \left (c+d x^2\right )^2 \, dx=\frac {{\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} d^{2} n^{4} x^{5} + {\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} d^{2} n^{4} x^{4} + 10 \, {\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} d^{2} n^{3} x^{5} + 2 \, {\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} c d n^{4} x^{3} + 6 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} d^{2} n^{3} x^{4} + 35 \, {\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} d^{2} n^{2} x^{5} + 2 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} c d n^{4} x^{2} + 24 \, {\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} c d n^{3} x^{3} - 4 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a^{2} b^{3} d^{2} n^{3} x^{3} + 11 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} d^{2} n^{2} x^{4} + 50 \, {\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} d^{2} n x^{5} + {\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} c^{2} n^{4} x + 20 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} c d n^{3} x^{2} + 98 \, {\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} c d n^{2} x^{3} - 12 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a^{2} b^{3} d^{2} n^{2} x^{3} + 6 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} d^{2} n x^{4} + 24 \, {\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} d^{2} x^{5} + {\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} c^{2} n^{4} + 14 \, {\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} c^{2} n^{3} x - 4 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a^{2} b^{3} c d n^{3} x + 58 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} c d n^{2} x^{2} + 12 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a^{3} b^{2} d^{2} n^{2} x^{2} + 156 \, {\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} c d n x^{3} - 8 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a^{2} b^{3} d^{2} n x^{3} + 14 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} c^{2} n^{3} + 71 \, {\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} c^{2} n^{2} x - 36 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a^{2} b^{3} c d n^{2} x + 40 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} c d n x^{2} + 12 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a^{3} b^{2} d^{2} n x^{2} + 80 \, {\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} c d x^{3} + 71 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} c^{2} n^{2} + 4 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a^{3} b^{2} c d n^{2} + 154 \, {\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} c^{2} n x - 80 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a^{2} b^{3} c d n x - 24 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a^{4} b d^{2} n x + 154 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} c^{2} n + 36 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a^{3} b^{2} c d n + 120 \, {\left (b x + a\right )}^{n} b^{5} c^{2} x + 120 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a b^{4} c^{2} + 80 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a^{3} b^{2} c d + 24 \, {\left (b x + a\right )}^{n} a^{5} d^{2}}{b^{5} n^{5} + 15 \, b^{5} n^{4} + 85 \, b^{5} n^{3} + 225 \, b^{5} n^{2} + 274 \, b^{5} n + 120 \, b^{5}} \]

[In]

integrate((b*x+a)^n*(d*x^2+c)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

((b*x + a)^n*b^5*d^2*n^4*x^5 + (b*x + a)^n*a*b^4*d^2*n^4*x^4 + 10*(b*x + a)^n*b^5*d^2*n^3*x^5 + 2*(b*x + a)^n*
b^5*c*d*n^4*x^3 + 6*(b*x + a)^n*a*b^4*d^2*n^3*x^4 + 35*(b*x + a)^n*b^5*d^2*n^2*x^5 + 2*(b*x + a)^n*a*b^4*c*d*n
^4*x^2 + 24*(b*x + a)^n*b^5*c*d*n^3*x^3 - 4*(b*x + a)^n*a^2*b^3*d^2*n^3*x^3 + 11*(b*x + a)^n*a*b^4*d^2*n^2*x^4
+ 50*(b*x + a)^n*b^5*d^2*n*x^5 + (b*x + a)^n*b^5*c^2*n^4*x + 20*(b*x + a)^n*a*b^4*c*d*n^3*x^2 + 98*(b*x + a)^
n*b^5*c*d*n^2*x^3 - 12*(b*x + a)^n*a^2*b^3*d^2*n^2*x^3 + 6*(b*x + a)^n*a*b^4*d^2*n*x^4 + 24*(b*x + a)^n*b^5*d^
2*x^5 + (b*x + a)^n*a*b^4*c^2*n^4 + 14*(b*x + a)^n*b^5*c^2*n^3*x - 4*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c*d*n^3*x + 58*(b*x +
a)^n*a*b^4*c*d*n^2*x^2 + 12*(b*x + a)^n*a^3*b^2*d^2*n^2*x^2 + 156*(b*x + a)^n*b^5*c*d*n*x^3 - 8*(b*x + a)^n*a
^2*b^3*d^2*n*x^3 + 14*(b*x + a)^n*a*b^4*c^2*n^3 + 71*(b*x + a)^n*b^5*c^2*n^2*x - 36*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c*d*n^
2*x + 40*(b*x + a)^n*a*b^4*c*d*n*x^2 + 12*(b*x + a)^n*a^3*b^2*d^2*n*x^2 + 80*(b*x + a)^n*b^5*c*d*x^3 + 71*(b*x
+ a)^n*a*b^4*c^2*n^2 + 4*(b*x + a)^n*a^3*b^2*c*d*n^2 + 154*(b*x + a)^n*b^5*c^2*n*x - 80*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c
*d*n*x - 24*(b*x + a)^n*a^4*b*d^2*n*x + 154*(b*x + a)^n*a*b^4*c^2*n + 36*(b*x + a)^n*a^3*b^2*c*d*n + 120*(b*x
+ a)^n*b^5*c^2*x + 120*(b*x + a)^n*a*b^4*c^2 + 80*(b*x + a)^n*a^3*b^2*c*d + 24*(b*x + a)^n*a^5*d^2)/(b^5*n^5 +
15*b^5*n^4 + 85*b^5*n^3 + 225*b^5*n^2 + 274*b^5*n + 120*b^5)

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 11.62 (sec) , antiderivative size = 496, normalized size of antiderivative = 3.54 \[ \int (a+b x)^n \left (c+d x^2\right )^2 \, dx={\left (a+b\,x\right )}^n\,\left (\frac {a\,\left (24\,a^4\,d^2+4\,a^2\,b^2\,c\,d\,n^2+36\,a^2\,b^2\,c\,d\,n+80\,a^2\,b^2\,c\,d+b^4\,c^2\,n^4+14\,b^4\,c^2\,n^3+71\,b^4\,c^2\,n^2+154\,b^4\,c^2\,n+120\,b^4\,c^2\right )}{b^5\,\left (n^5+15\,n^4+85\,n^3+225\,n^2+274\,n+120\right )}+\frac {d^2\,x^5\,\left (n^4+10\,n^3+35\,n^2+50\,n+24\right )}{n^5+15\,n^4+85\,n^3+225\,n^2+274\,n+120}+\frac {x\,\left (-24\,a^4\,b\,d^2\,n-4\,a^2\,b^3\,c\,d\,n^3-36\,a^2\,b^3\,c\,d\,n^2-80\,a^2\,b^3\,c\,d\,n+b^5\,c^2\,n^4+14\,b^5\,c^2\,n^3+71\,b^5\,c^2\,n^2+154\,b^5\,c^2\,n+120\,b^5\,c^2\right )}{b^5\,\left (n^5+15\,n^4+85\,n^3+225\,n^2+274\,n+120\right )}+\frac {2\,d\,x^3\,\left (n^2+3\,n+2\right )\,\left (-2\,d\,a^2\,n+c\,b^2\,n^2+9\,c\,b^2\,n+20\,c\,b^2\right )}{b^2\,\left (n^5+15\,n^4+85\,n^3+225\,n^2+274\,n+120\right )}+\frac {a\,d^2\,n\,x^4\,\left (n^3+6\,n^2+11\,n+6\right )}{b\,\left (n^5+15\,n^4+85\,n^3+225\,n^2+274\,n+120\right )}+\frac {2\,a\,d\,n\,x^2\,\left (n+1\right )\,\left (6\,d\,a^2+c\,b^2\,n^2+9\,c\,b^2\,n+20\,c\,b^2\right )}{b^3\,\left (n^5+15\,n^4+85\,n^3+225\,n^2+274\,n+120\right )}\right ) \]

[In]

int((c + d*x^2)^2*(a + b*x)^n,x)

[Out]

(a + b*x)^n*((a*(24*a^4*d^2 + 120*b^4*c^2 + 154*b^4*c^2*n + 71*b^4*c^2*n^2 + 14*b^4*c^2*n^3 + b^4*c^2*n^4 + 80
*a^2*b^2*c*d + 36*a^2*b^2*c*d*n + 4*a^2*b^2*c*d*n^2))/(b^5*(274*n + 225*n^2 + 85*n^3 + 15*n^4 + n^5 + 120)) +
(d^2*x^5*(50*n + 35*n^2 + 10*n^3 + n^4 + 24))/(274*n + 225*n^2 + 85*n^3 + 15*n^4 + n^5 + 120) + (x*(120*b^5*c^
2 + 154*b^5*c^2*n + 71*b^5*c^2*n^2 + 14*b^5*c^2*n^3 + b^5*c^2*n^4 - 24*a^4*b*d^2*n - 80*a^2*b^3*c*d*n - 36*a^2
*b^3*c*d*n^2 - 4*a^2*b^3*c*d*n^3))/(b^5*(274*n + 225*n^2 + 85*n^3 + 15*n^4 + n^5 + 120)) + (2*d*x^3*(3*n + n^2
+ 2)*(20*b^2*c + b^2*c*n^2 - 2*a^2*d*n + 9*b^2*c*n))/(b^2*(274*n + 225*n^2 + 85*n^3 + 15*n^4 + n^5 + 120)) +
(a*d^2*n*x^4*(11*n + 6*n^2 + n^3 + 6))/(b*(274*n + 225*n^2 + 85*n^3 + 15*n^4 + n^5 + 120)) + (2*a*d*n*x^2*(n +
1)*(6*a^2*d + 20*b^2*c + b^2*c*n^2 + 9*b^2*c*n))/(b^3*(274*n + 225*n^2 + 85*n^3 + 15*n^4 + n^5 + 120)))